2025-11-25 22:23:161086
线性方程组的矩阵解法——克莱姆法则
最新推荐文章于 2025-10-14 19:00:16 发布
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文章标签：
#线性代数
数学
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本文详细介绍了如何使用克莱姆法则求解线性方程组，通过计算系数矩阵的行列式来判断方程组是否有唯一解，并给出了具体的计算步骤和实例解析。
设线性方程组为
{
a
11
x
1
+
a
11
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.
.
.
.
.
.
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
⋯
+
a
n
n
x
n
=
b
n
\begin{cases} a_{11}x_1+a_{11}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ ......\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a11x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2......an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn 其系数行列式为
D
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
≠
0
D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} \not=0
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0 则该线性方程组有且仅有唯一解：
x
1
=
D
1
D
,
x
2
=
D
2
D
,
⋯
,
x
n
=
D
n
D
x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots,x_n=\frac{D_n}{D}
x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn 其中
D
j
(
j
=
1
,
2
,
…
,
n
)
D_j(j=1,2,\ldots,n)
Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式
D
D
D中的第
j
j
j列的元素用常数项
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
b_1,b_2,\ldots,b_n
b1,b2,…,bn代替后得到的
n
n
n阶行列式，即
D
j
=
∣
a
11
⋯
a
1
,
j
−
1
b
1
a
1
,
j
+
1
⋯
a
1
n
a
21
⋯
a
2
,
j
−
1
b
1
a
1
,
j
+
1
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
n
1
⋯
a
n
,
j
−
1
b
1
a
1
,
j
+
1
⋯
a
n
n
∣
D_j = \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}
Dj=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1⋯⋯⋮⋯a1,j−1a2,j−1⋮an,j−1b1b1⋮b1a1,j+1a1,j+1a1,j+1⋯⋯⋯a1na2nann∣∣∣∣∣∣∣∣∣
举例
{
2
x
1
+
3
x
2
−
5
x
3
=
3
x
1
−
2
x
2
+
x
3
=
0
3
x
1
+
x
2
+
3
x
3
=
7
\begin{cases} 2x_1+3x_2-5x_3=3\\ x_1-2x_2+x_3=0\\ 3x_1+x_2+3x_3=7\\ \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧2x1+3x2−5x3=3x1−2x2+x3=03x1+x2+3x3=7
解：
D
=
∣
2
3
−
5
1
−
2
1
3
1
3
∣
=
∣
2
7
−
7
1
0
0
3
7
0
∣
=
−
∣
7
−
7
7
0
∣
=
−
49
≠
0
D= \begin{vmatrix} 2&3&-5\\ 1 & -2 & 1\\ 3 & 1 &3\\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 7 & -7\\ 1 & 0 & 0\\ 3 & 7 & 0\\ \end{vmatrix}=- \begin{vmatrix} 7&-7\\ 7 &0\\ \end{vmatrix}=-49\not=0
D=∣∣∣∣∣∣2133−21−513∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣213707−700∣∣∣∣∣∣=−∣∣∣∣77−70∣∣∣∣=−49=0
D
1
=
∣
3
3
−
5
0
−
2
1
7
1
3
∣
=
∣
2
7
−
7
1
0
0
3
7
0
∣
=
−
∣
3
−
7
7
7
∣
=
−
70
D_1= \begin{vmatrix} 3&3&-5\\ 0 & -2 & 1\\ 7 & 1 &3\\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 7 & -7\\ 1 & 0 & 0\\ 3 & 7 & 0\\ \end{vmatrix}=- \begin{vmatrix} 3 & -7\\ 7 & 7\\ \end{vmatrix}=-70
D1=∣∣∣∣∣∣3073−21−513∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣213707−700∣∣∣∣∣∣=−∣∣∣∣37−77∣∣∣∣=−70
x
1
=
D
1
D
=
−
70
−
49
=
10
7
x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{-70}{-49}=\frac{10}{7}
x1=DD1=−49−70=710
其余两个解同理。